Application de la théorie spectrale des graphes à une mousse métallique

N. Lygeros, I. Pitault, R. Philippe, D. Schweich, M.-L. Zanota

Nous considérons un échantillon d’une mousse métallique pris dans le noyau de celle-ci à travers le codage obtenu à partir de la tomographie. Cette nouvelle mousse correspond en termes de la théorie spectrale des graphes à un graphe simple muni de 66 sommets et de 90 arêtes. À partir de celui-ci nous construisons une matrice d’adjacence de dimension 66x66. L’utilisation des paquets de la théorie des graphes et de l’algèbre linéaire du logiciel Maple 15 permet de montrer aisément que ce graphe n’est pas un arbre, n’est pas planaire et n’est pas eulérien.

 En effet la séquence des degrés des sommets permet de déterminer qu’il existe plus de deux sommets dont le degré est impair alors que nous avons un graphe connexe dont le nombre de clique est égal à trois. Le degré minimal du graphe correspond à l’unité et s’explique par les extrémités de l’échantillon. Quant au degré maximal, il est égal à 6, avec deux occurrences et comme il existe encore deux autres cas de degré égal à cinq, nous en déduisons que cette mousse métallique ne respecte pas la loi de Plateau. Le filtrage de la séquence des degrés nous donne les valeurs suivantes : [[1,21], [2,11], [3,5], [4,25], [5,2], [6,2]]. Le polynôme caractéristique de la matrice d’adjacence associée à la mousse, est comme il se doit, de degré 66, avec des coefficients non nuls pour les degrés de 10 à 66, excepté bien sûr au degré 65 qui correspond à la trace nulle de la matrice d’adjacence. La petite taille de l’échantillon est sans doute la cause de la valeur élevée du degré du premier coefficient non nul. Cette remarque explique l’existence de la valeur propre zéro de multiplicité 10. Par contre, l’étude du spectre montre que toutes les autres valeurs propres sont de multiplicité un. Et l’ensemble de celles-ci est compris dans l’intervalle [-3.30, 3.64]. La distribution des points associés à la suite croissante des valeurs propres, s’effectuent sur une droite avec une légère divergence sur les extrémités, ce qui correspond à un écart type relativement faible. L’étude des coefficients des plus hauts degrés du polynôme caractéristique qui correspondent à χ = x66 – 90x64 – 6x63 + 3759x62 + 464x61 - … permet de montrer qu’il existe bien 90 arêtes dans le graphe que nous retrouvons à partir de la formule a2 = - tr(A2) /2. En ce qui concerne les circuits d’ordre trois nous avons : a3 = tr(A3) / 3. Et cela nous permet de repérer deux triangles (au sens topologique) dans la mousse. Pour les circuits d’ordre 4, nous obtenons bien 3759 occurrences que nous retrouvons à partir de la formule :

a4 = - tr(A4) /4 – ½ tr(A2 /2).

À présent si nous considérons la somme, s, des éléments au carré de la diagonale de la matrice d’adjacence au carré, nous pouvons retrouver le nombre de carrés (au sens topologique) dans la mousse via la formule suivante :(tr(A4) + tr(A2) – 2 s) / 8

Ainsi déterminons-nous 10 carrés dans la mousse initiale. Cette approche est généralisable et permet d’étudier de manière efficace la topologie de la mousse étudiée.